Ζεσταίνουμε το λάδι σε δυνατή φωτιά και σοτάρουμε τα πράσα με τις πατάτες και τα καρότα για περίπου 2 λεπτά, μέχρι να γυαλίσουν και να μαραθούν. Αλατοπιπερώνουμε, ρίχνουμε το νερό ή τον ζωμό και βράζουμε για περίπου 10 λεπτά ή μέχρι να μαλακώσουν όλα τα υλικά.

Πολτοποιούμε όλα τα υλικά με το ραβδομπλέντερ ή τα αδειάζουμε, σε δόσεις, στον κάδο του πολυκόφτη που διαθέτουμε και τα πολτοποιούμε.

Ζεσταίνουμε το γάλα στην κατσαρόλα, προσθέτουμε τη σούπα και βράζουμε σε δυνατή φωτιά ανακατεύοντας με το σύρμα για 1-2 λεπτά, μέχρι να αναμειχθούν και να αποκτήσει η σούπα την πυκνότητα που επιθυμούμε. Μπορεί να χρειαστεί να προσθέσουμε λίγο ζεστό νερό ακόμη. Αν έχουμε χρόνο, σουρώνουμε τη σούπα σε ψιλό συρμάτινο σουρωτήρι (για πιο λείο αποτέλεσμα).

Μοιράζουμε στα πιάτα, σκορπίζουμε το σχοινόπρασο και λίγη καπνιστή πάπρικα και σερβίρουμε.